Sam Raskin conseguiu resolver um problema matemático tão complexo que levou cinco estudos acadêmicos — e mais de 900 páginas — para ser resolvido.

Os resultados são uma prova matemática abrangente e revolucionária que levou décadas para ser feita. Trabalhando com Dennis Gaitsgory do Instituto Max Planck e uma equipe de sete outros matemáticos, Raskin resolveu um segmento das Conjecturas de Langlands, há muito consideradas uma “Pedra de Roseta” da matemática.

As Conjecturas de Langlands, nomeadas em homenagem ao matemático canadense (e ex-professor de Yale) Robert Langlands, sugeriram na década de 1960 que existem conexões profundas e não comprovadas entre teoria dos números, análise harmônica e geometria — três áreas da matemática há muito consideradas distintamente separadas. Provar essas conexões, dizem os matemáticos, poderia sugerir maneiras de traduzir certas áreas da matemática que pareciam diferentes.

Raskin, professor James E. English de Matemática na Faculdade de Artes e Ciências de Yale, e Gaitsgory lideraram uma equipe que resolveu a parte de geometria de Langlands.

“ Definitivamente há algo de buzzy sobre isso”, disse Raskin, um homem de fala mansa que preencherá um quadro-negro com equações na queda de um heptágono. “As pessoas sempre adoram ver um problema antigo cair.”

Alexander Goncharov, professor de matemática Philip Schuyler Beebe em Yale, chama a solução geométrica de Langlands de uma conquista “histórica”.

“ A Conjectura de Langlands é um dos problemas mais fundamentais da matemática, em termos de alcance e valor. A solução completa da Conjectura Geométrica de Langlands é realmente incrível. Ela era considerada totalmente fora de alcance antes disso”, disse Goncharov, um especialista em geometria algébrica aritmética. “E no caminho para a solução, Sam e seus colaboradores tiveram que desenvolver novas ferramentas matemáticas apenas para tornar possível pensar sobre o problema.”

Em um artigo da New Scientist sobre a prova, David Ben-Zvi, um matemático da Universidade do Texas em Austin, escreveu: “É a primeira vez que temos uma compreensão realmente completa de um canto do programa de Langlands, e isso é inspirador”.

Os devotos de Langlands geométricos não são os únicos observadores interessados na prova de Raskin. Há também interesse de físicos teóricos, que notaram que um grupo de simetria geométrica (uma característica fundamental em Langlands geométricos) repousa no cerne da explicação da física de partículas. Além disso, os físicos dizem que a metodologia de Raskin pode lançar luz sobre conexões não resolvidas entre fenômenos naturais como eletricidade e magnetismo.

Tudo isso se encaixa perfeitamente com uma das principais crenças de Raskin sobre seu trabalho: "Eu penso na matemática como parte da natureza, com coisas interessantes a serem descobertas ao longo do caminho", disse ele.

De certa forma, Raskin foi apontado para esse eventual sucesso desde que era adolescente.

Como estudante de graduação na Universidade de Chicago, muitos de seus mentores de matemática, tanto no nível docente quanto de pós-graduando, estavam se aprofundando na pesquisa geométrica de Langlands; simpósios e seminários do campus eram dedicados a isso. Como estudante de pós-graduação, Raskin conheceu Gaitsgory, que se tornaria seu orientador de doutorado em Harvard.

“ Muitas das coisas que entram em Langlands geométricas foram coisas que eu imprimi como aluno”, disse Raskin. “Teve um grande impacto em meus gostos matemáticos. É um conjunto de questões que sempre achei interessante e gratificante trabalhar.

A intuição e o instinto informado certamente fizeram parte da pesquisa geométrica de Langlands, mesmo antes de receber esse nome.

A partir do século XVIII, matemáticos começaram a descobrir padrões estranhos em números primos. Gerações de acadêmicos continuaram a se aprofundar nesses padrões e no que eles poderiam significar, até o século XX.

Por exemplo, os estudiosos notaram que há simetrias em certos números primos que são consistentemente comutativos , o que significa que mesmo se você mudasse a ordem deles em uma operação binária, você obteria o mesmo resultado. Normalmente, simetrias não são comutativas.

“ Todos sabiam que havia essa questão do que acontece se o grupo de simetria não for comutativo e os matemáticos começaram a estudar exemplos disso”, explicou Raskin. “Eles encontraram exemplos que não necessariamente entendiam. E então Robert Langlands surgiu com uma proposta muito sistemática sobre qual deveria ser a história geral sobre essas simetrias não comutativas na teoria dos números.”

Então a geometria entrou na discussão. O mesmo comportamento não resolvido visto em números primos também estava acontecendo na geometria, em pontos em uma curva. Na década de 1990, os matemáticos Alexander Beilinson e Vladimir Drinfeld (Raskin conheceu os dois em seus dias de estudante) tinham se concentrado em uma abordagem para provar Langlands geométricos usando construções geométricas altamente complexas (e ainda não totalmente desenvolvidas) chamadas “eigensheaves”.

Levaria mais de 20 anos para que outro grupo de matemáticos — Raskin, Gaitsgory e sua equipe — provasse isso.

“ É muito notável como, ao sondar Langlands com vários cálculos, você desenvolve essa intuição complexa de como as coisas vão se comportar”, disse Raskin. “Você começa a ser capaz de prever resultados para questões que não estudou, às vezes.”

Um passo fundamental para a solução ocorreu em 2020.

Raskin, então membro do corpo docente da Universidade do Texas em Austin, fazia parte de uma equipe de seis pessoas que publicou um artigo sobre a parte de análise harmônica de Langlands — a ideia de que funções matemáticas podem ser divididas em “ondas”.

Em um artigo de 2022 , Raskin e um de seus alunos de pós-graduação, Joakim Faergeman (que agora é aluno de pós-graduação em Yale) expandiram certos aspectos do artigo de 2020 e os aplicaram especificamente a Langlands geométricas. Parte do trabalho envolveu pensar em alguns problemas bastante espinhosos com conceitos matemáticos conhecidos como “representações irredutíveis”.

Quando Raskin conseguiu isso — numa época em que ele e sua esposa esperavam o nascimento de seu segundo filho — uma prova clara da geometria de Langlands estava ao seu alcance.

Ele e seus colegas concluíram a solução de cinco estudos no início deste ano.

“ Temos o único teorema que funciona para todos os grupos”, disse Raskin. “Um teorema muito robusto e satisfatório.

“ Em matemática, temos esse luxo — você pode realmente dizer que algo é verdadeiro”, ele acrescentou. “Não é um modelo. É matemática. As coisas são verdadeiras ou falsas. Este é um caso em que podemos dizer que toda a intuição dos estudos teóricos estava correta. É a satisfação de uma prova.”